lunes, 28 de agosto de 2017

10. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

10.1 PUNTOS Y RECTA
¿Qué es un punto?
El punto es el elemento base de la geometría, ente fundamental, porque con él determinamos las rectas y los planos. Podemos definirlo también, como la intercesión de dos líneas. Sirve para indicar una posición y no tiene dimensión.
¿Qué es una recta?
Una recta es una sucesión ininterrumpida de puntos con una misma dirección, por lo tanto sólo tiene una dimensión. Dos puntos determinan una recta la recta es infinita, no posee ni principio ni fin.
Tipos de rectas
  • Recta: La recta propiamente dicha se caracteriza porque los puntos que la forman están en la misma dirección. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.
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  • Semirrecta: Es línea recta que tiene origen pero no tiene fin, tiene sólo un sentido, y no se puede medir.
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  • Segmento: Un segmento es una línea recta que tiene principio y fin, un segmento se puede medir.
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  • Poligonal: Se llama recta poligonal aquella que está formada por varias porciones de rectas que están unas a continuación de otras, pero no están alineadas, la línea poligonal puede ser abierta (cuando ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el último). La línea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama polígono.
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  • Curva:Una curva está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser curva abierta (los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) y curva mixta (formada por lineas rectas y curvas unidas)
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Posiciones de las rectas:
  • Dos rectas son paralelas: si no tienen ningún punto en común.
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  • Dos rectas son secantes: cuando tienen un punto en común.
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  • Dos rectas son perpendiculares: cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos.
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Posición de las rectas en el espacio
  • Horizontal
  • Vertical
  • Inclinada
La linea curva puede ser:
  • Circunferencia, es una curva regular cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro llamado centro.
  • Elípse, es una curva regular cerrada que se diferencia de la anterior porque la suma de la distancia de cada uno de sus puntos respecto a otros dos que están en su interior es siempre igual.
  • Espiral es una curva regular abierta que gira sobre sí misma.
  • Parábola es una curva regular abierta, cada uno de sus puntos está a una distancia siempre igual de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

ECUACION DE LA RECTA

La ecuación de una recta es de la forma

y=ax+b

EJEMPLO  1:
problemas de rectas y parábolas
Al número a se le llama pendiente y a al número b, término independiente u ordenada al origen.

Puntos de corte de una Recta

Puntos de corte o intersección con los ejes:
Con el eje OY (de ordenadas)
Ocurre cuando x = 0. Sustituimos x por 0 en la ecuación y obtenemos el valor de y. Es decir, y = b. El punto es (0, b).
Ejemplo:
problemas de rectas y parábolas


Con el eje OX (de abscisas):
Ocurre cuando y = 0. Sustituimos y por 0 en la ecuación y calculamos x. Es decir,
cortes de una recta con el eje de abscisas
El punto es (-b/a,0).
Ejemplos:
problemas de rectas y parábolas

Rectas especiales

Hay dos casos particulares de rectas: las verticales y las horizontales.
Recta horizontal:
Son las rectas que no tienen pendiente, es decir, es una recta paralela al eje OX.
Son de la forma

y=k

Esta recta corta al eje OY en el punto (0,k) y si k = 0, entonces la recta coincide con el eje OX.

EJEMPLO 2:
problemas de rectas y parábolas


Recta vertical:
Son rectas paralelas al eje de ordenadas (eje OY).
Son de la forma

x=k

Esta recta corta el eje OX en el punto (k,0) y si k = 0, entonces la recta coincide con el eje OY.

EJEMPLO 3:
problemas de rectas y parábolas

EJEMPLO 4 :

 Hallar la ecuaci�n de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = - 5.

Tienes que hallar la ecuaci�n de la recta, esto es, y = mx + b.

Usa la informaci�n que te dan: m = - 5 y sustituye en la ecuaci�n:
y = - 5x + b

Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una soluci�n de la ecuaci�n que estas buscando. Sustituye esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuaci�n que estas buscando: 2 = - 5 ( 1 ) + b

Despeja la variable b en: 
2 = - 5 ( 1 ) + b
2 = - 5 + b
2 + 5 = b
b = 7

Sustituye el valor de b en la ecuaci�n que estas buscando: y = - 5x + 7

La ecuaci�n es y = - 5x + 7.


EJEMPLO 5 :

Calcular la recta que pasa por el punto A( 7,7) y que tiene pendiente -3. ¿Pasa también por el origen? El origen es el punto O(0,0).
La ecuación de la recta será de la forma
ejercicios de rectas que pasan por los puntos A y B
como la pendiente tiene que ser -3, tenemos que a = -3.
Puesto que la recta pasa por el punto A, sus coordenadas verifican la ecuación. Sustituyendo en la ecuación obtenemos b:
ejercicios de rectas que pasan por los puntos A y B
Por tanto, la ecuación de la recta es
ejercicios de rectas que pasan por los puntos
Si la recta pasa por el origen, sus coordenadas verifican la ecuación. Es decir, para x = 0tenemos que obtener y = 0, pero obtenemos
ejercicios de rectas que pasan por los puntos
Así que la recta no pasa por el origen.
La gráfica de la recta es
gráfica de la recta

10.2 CIRCUNFERENCIA


Para lograrlo debemos conocer dos elementos importantes:
- el centro de la circunferencia (C), dado por sus coordenadas
- el radio (r) de la misma circunferencia
Definido esto, tendremos dos posibilidades :
A) Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)
B) Y circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas; expresado, por ejemplo, como C (3, 2) .
A continuación analizaremos cuatro casos
Caso 1
Veamos la gráfica siguiente: 
x
Los datos que nos entrega son:
Centro:  C (0, 0) , el centro se ubica en el origen de las coordenadas y
radio: r = 3 , lo indica el 3 en cada una de las coordenadas.
Recordar esto:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación + y = r para expresar dicha circunferencia en forma analítica ( Geometría analítica ) . Esta ecuación se conoce como ecuación reducida .
Para la gráfica de nuestro ejemplo, reemplazamos el valor de en la fórmula + y = 3 
y nos queda + y = 9 como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba.
Ojo:
Si nos dieran la ecuación + y = 9 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 3 (3 = 9 y la raíz cuadrada de 9 es 3)
Caso 2
Veamos la gráfica siguiente:
x
Los datos que nos entrega son:
Centro:  C (0, 0) , el centro se ubica en el origen de las coordenadas y
radio: r , lo desconocemos, pero tenemos un dato: el punto P (3, 4) ubicado en la circunferencia.
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación + y = r para expresar dicha circunferencia en forma analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida .
Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de en la fórmula + y = r pero resulta que no lo conocemos.
Entonces, a partir del dato P (3, 4) podemos calcular el valor del trazo que une este punto con el centro C (0, 0) (trazo PC con línea punteada en la figura), el cual corresponde al radio de la circunferencia dada.
¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre P y C (el radio de la circunferencia)?
Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:
ecuacion_circunferencia005
No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos ; por lo mismo, debemos saber que en ella
(x ─ x representa al punto 1, y ese punto 1 (P lo haremos corresponder con el punto que pasa por el centro C (0, 0)
(y ─ y representa al punto 2, y ese punto 2 (P lo haremos corresponder con el punto que pasa por P (3, 4).
Es muy importante conocer o designar este orden ya que
ecuacion_circunferencia006
Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la distancia (d) entre los dos puntos que nos interesan, la cual será nuestro radio:
ecuacion_circunferencia007
El 5 nos indica la distancia entre los dos puntos, el centro de la circunferencia y uno de sus puntos, lo cual corresponde al radio .
x



Recordemos de nuevo :
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación + y = r para expresar dicha circunferencia en forma analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida .
Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de en la fórmula + y = r pero resulta que no lo conocemos.
Pero tenemos identificados dos puntos opuestos en la circunferencia, los cuales unidos entre sí (la línea punteada entre A y B en la gráfica) representan al diámetro de la misma. Entonces, a partir de esos puntos, A (-3, -2) y B (3, 2), podemos calcular el valor del trazo que los une (trazo AB con línea punteada en la figura), el cual corresponde al diámetro de la circunferencia dada.
¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre A y B (el diámetro de la circunferencia)?
Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:
ecuacion_circu8nferencia008
No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos; por lo mismo, debemos saber que en ella
(x ─ x representa al punto 1, y ese punto 1 (P lo haremos corresponder con el punto A (-3, -2)
(y ─ y representa al punto 2, y ese punto 2 (P lo haremos corresponder con el punto B (3, 2).
Es muy importante conocer o designar este orden ya que
ecuacion_circunferencia009
Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la distancia (d) entre los dos puntos que nos interesan, la cual será nuestro diámetro
ecuacion_circunferencia010
El 7,2 (valor aproximado) nos indica la distancia entre los dos puntos, A y B, la cual corresponde al diámetro de la circunferencia. 
Para conocer el valor del radio, simplemente dividimos por 2 dicho diámetro, y nos queda r = 3,6 ≈
Conocido el radio lo reemplazaremos en la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen de las coordenadas, que es:
+ y = r 2
la cual nos queda
+ y = (3,6) .
+ y = 13 ≈  como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba (en la cual nos indicaron un centro y dos puntos opuestos en ella).
Esta ecuación también podía obtenerse haciendo el cálculo para la distancia entre uno de los puntos dados y el centro, como se vio en el caso 2
Ojo:
Si nos dieran la ecuación + y = 13 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 3,6 (3,6) = 13 y la raíz cuadrada de 13 es 3,6 ≈).

Caso 4
Tenemos la gráfica de una circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0), no hay otro dato sobre coordenadas, pero se me indica que tiene un área de 10 u (diez unidades cuadráticas).
x
10.3 PARÁBOLA


La ecuación general de una parábola es

y=ax2+bx+c

los coeficientes b y c pueden ser 0. Si a = 0, es una recta y no una parábola.

  • Cuando a > 0, la parábola tiene forma de U.
    problemas de rectas y parábolas
  • Cuando a < 0, tiene forma de U invertida.
    problemas de rectas y parábolas

Puntos de corte

Con el eje OY (de ordenadas):
Ocurre cuando x = 0. Es decir, y = c. El punto es (0,c).

EJEMPLO 6:
problemas de rectas y parábolas


Con el eje OX (de abscisas):
Ocurre cuando y = 0. Es decir,
0=ax2+bx+c
Tenemos una ecuación de segundo grado. Por tanto, puede haber 1, 2 o ningún punto de corte.

EJEMPLO  7:

La parábola y = x2 - 2x + 1 tiene sólo un punto de corte con el eje de abscisas ya que la ecuación sólo tiene una solución:
x=2±442=2±02=1
problemas de rectas y parábolas
La parábola y = x2 - 4x + 3 tiene dos puntos de corte con el eje de abscisas ya que la ecuación tiene dos soluciones:
x=4±16122=4±22=3, 1
problemas de rectas y parábolas
La parábola y = - x2 + 2x - 2 no tiene puntos de corte con el eje de abscisas ya que la ecuación no tiene soluciones (reales):
x=2±482=2±42
problemas de rectas y parábolas



Vértice

El vértice de una parábola es su punto máximo o mínimo (uno de los dos). Es el máximo si la parábola tiene forma de U invertida y es el mínimo si tiene forma de U.

EJEMPLO  8:
problemas de rectas y parábolas
El vértice de la parábola y = -2x2 - 1 es un máximo.
problemas de rectas y parábolas
El vértice de la parábola y = 2x2 - 5 es un mínimo.
El vértice está en el punto cuya primera coordenada es
vértice parábola
Para saber la coordenada y tenemos que substituir en la ecuación el valor de x.

EJEMPLO 9 : 

Calcular los puntos de corte de la siguiente parábola con los ejes de coordenadas:


problemas resueltos de parábolas problemas resueltos de parábolas

Podemos escribir la ecuación en forma factorizada como
problemas resueltos de parabólas
Puntos de corte con el eje de abscisa (eje OX): ocurre cuando y=0. Sustituimos en la ecuación y obtenemos
problemas resueltos de parabólas
Y como la ecuación de segundo grado está factorizada no es necesario aplicar la fórmula cuadrática. Las soluciones son x=0,1.
Luego tenemos dos puntos de corte
problemas resueltos de parabólas
Punto de corte con el eje de ordenadas (eje OY): ocurre cuando x=0. Sustituimos en la ecuación y obtenemos
problemas resueltos de parabólas
El punto es (0,0).
Notemos que hemos obtenido el punto (0,0) (el origen) como punto de corte con el eje de abscisas y el de ordenadas. Y es que, en efecto, en el origen, la parábola corta a los dos ejes.
Calculamos ahora el vértice y con los puntos de corte y el vértice podemos graficar rápidamente la parábola:
problemas resueltos de parabólas
El valor de y lo obtenemos sustituyendo el valor de x en la ecuación:
problemas resueltos de parabólas
El vértice es
problemas resueltos de parabólas
La gráfica es
gráfica de la parabóla


EJEMPLO 10 :

Encontrar las dos parábolas que cortan al eje de abscisas (eje OX) en los puntos A(0,0), B(2,0) pero con vértices distintos (1,-5) y (1,-2).
La ecuación general de una parábola
problemas de parabólas
Sabemos que las dos rectas pasan por los puntos
problemas de parabólas
Luego dichos punto verifican la ecuación. Los sustituimos en:
problemas de parabólas
Por tanto, ya sabemos que ambas parábolas son la ecuación
problemas de parabólas
El valor de a lo obtendremos a partir del vértice, que sabemos que son
problemas de parabólas
Sustituimos en la ecuación:
problemas de parabólas
Por tanto, una de las parábolas es
parábola y=5x^2 -10
Del otro vértice obtenemos
problemas de parabólas
Luego la otra parábola es
parábola y=2x^2 -4
Con los 3 puntos de cada parábola podemos graficarlas rápidamente
gráfica de la dos parábolas

10.4 ELIPSE



La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.

Dibujo de la elipse producto de la intersección del cono con un plano.
También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.

Elementos de una elipse

Dibujo de los elementos de la elipse.
Los elementos más importante de la elipse son:
  • Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.
  • Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2cc es la semidistancia focal.
  • Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
  • Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:

    Fórmula de la suma de las distancias a los focos de la elipse.
  • Dibujo de la relación entre semiejes y la distancia focal de la elipse.
  • Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:

    Fórmula de la relación entre los semiejes y la distancia focal de la elipse.
    Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.
  • Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2).
  • Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los puntos IJK y L

Ecuación de una elipse

Los puntos pertenecientes a la elipse (x,y) son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante. La ecuación de la elipse es la siguiente:

Fórmula de la ecuación de la elipse
En el caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la ecuación es:

Fórmula de la ecuación de la elipse

Área de una elipse

Dibujo del área de la elipse
El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).

Fórmula del área de la elipse
Dibujo del área del círculo
En el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):

Fórmula del área del círculo

Perímetro de una elipse

Dibujo de una elipse para el cálculo de su perímetro.
El cálculo del perímetro de la elipse (o longitud de la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):

Fórmula del perímetro de la elipse
El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior :

Fórmula del perímetro de la elipse de Ramanujan.

Excentricidad de la elipse

Dibujo de una elipse para el cálculo de su excentricidad.
La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y a el semieje mayor:

Fórmula de la excentricidad de la elipse.
La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F1 y F1) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

Dibujo de los tipos de la excentricidad de la elipse.
Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).

Fórmula extendida de la excentricidad de la elipse.
Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:


Fórmula de la relación entre los semiejes y la distancia focal de la elipse.


EJEMPLO 11:



EJEMPLO 12:


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