8. GEOMETRÍA DEL ESPACIO

8.1 SISTEMA TRIDIMENSIONAL 

Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí,
los cuales  se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejes Ox, Oy y Oz. 

Las coordenadas del punto E de la figura son (x, y, z).
La distancia signada como x se llama abscisa; y se llama ordenada, y z se llama cota.
Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.

Los signos de las coordenadas se ilustran en la siguiente figura:

EJEMPLO 1:

Un cubo tiene una arista de 8 unidades y se ubica en el sistema cartesiano tal como se ilustra en la siguiente figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P? 

En la figura, se cumple que x = 0; y = 8 y z = 8,
Por tanto, sus coordenadas son (0, 8, 8).
 - ¿Cuál será la medida del trazo OP? ¿Y el trazo OA?
Si observas la figura, identificarás que el trazo OP es la diagonal de una de sus caras. Como cada arista mide 8, entonces:

El trazo OA es la diagonal principal del cubo, y aplicando, a partir del cálculo anterior, el Teorema de Pitágoras en el triángulo que se forma en el espacio OAP, tenemos que:

En general, podemos determinar que la diagonal principal de un cubo de lado a es igual a:

Más generalizado, podemos determinar que la diagonal principal de un paralelogramo
de largo a, ancho b y  altura c tiene la forma .

EJEMPLO 2 :

La diagonal principal de un paralelepípedo de lados  5, 10 y 12, tiene el valor de

Un ejemplo práctico de sistema de coordenadas tridimensionales, se puede ver en el computador al diseñar un cubo en tres dimensiones y que este pueda moverse a través de un programa.

Lo primero que se debe hacer es ubicar las coordenadas de los puntos principales del cubo.
Observa que el centro del sistema en este caso está ubicado en el centro del cubo donde se trazaron los ejes X, Y y Z.

8.2 POLIEDROS

Sólido limitado por superficies planas (polígonos). Sus partes se denominan:

• caras: polígonos que limitan al poliedro,
• aristas: lados de las caras del poliedro,
• vértices: puntos donde concurren varias aristas.

Clasificación de los Poliedros

Los poliedros se clasifican básicamente en:

• poliedros regulares
• poliedros irregulares

Poliedro Regular

Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan:

• tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 triángulos equiláteros iguales,
• hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales,
• octaedro regular: poliedro regular definido por 8 triángulos equiláteros iguales,
• dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12 pentágonos regulares iguales,
• icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 triángulos equiláteros iguales.

poliedros regulares

Poliedro Irregular

Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales.

Clasificación de los Poliedros Irregulares
Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en:

• tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro,
• pirámide
• prisma

denominación de los poliedros irregulares,
según el número de sus caras

Pirámide

Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de la pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se clasifican en:

• pirámide recta: el eje es perpendicular al polígono base,
• pirámide oblicua: el eje no es perpendicular al polígono base,
• pirámide regular: la base es un poligono regular,
  • pirámide regular recta: la base es un poligono regular y el eje es perpendicular al polígono base.
  • pirámide regular oblicua: la base es un poligono regular y el eje no es perpendicular al polígono base.

pirámides

Prisma

Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se clasifican en:

• prisma recto: el eje es perpendicular a los polígonos base,
• prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polígonos base,
• prisma regular: las bases son poligonos regulares,
  • prisma regular recto: las bases son poligonos regulares y el eje es perpendicular a los polígonos base.
  • prisma regular oblicuo: las bases son poligonos regulares y el eje no es perpendicular a los polígonos base.
• paralelepipedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos

prismas

EJEMPLO 3:

• Calcula el área y el volumen de un cubo de arista 2 m.

• Calcula el área y el volumen de un prisma recto de altura 3 m y que tiene por base un triángulo equilatero de 2 m de arista.