1. LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica es la ciencia que estudia el razonamiento, donde “razonar” consiste en obtener afirmaciones (llamadas conclusiones) a partir de otras afirmaciones (llamadas premisas) con los criterios adecuados para que podamos tener la garantía de que si las premisas son verdaderas, entonces las conclusiones obtenidas también tienen que serlo necesariamente. 

1.1 PROPOSICIONES

Las proposiciones forman parte de la forma más simple o elemental de la lógica, y se puede enfocar en la lógica matemática. Esta lógica, no profundiza en los conceptos de las proposiciones, solo se guía en lo ciertas o falsas que sean.

EJEMPLOS:

• La computadora es negra o blanca.
• Él está componiendo coches o motocicletas.
• Un caballo negro.
• Él está dormido.
• El lápiz es rojo o amarillo.

1.2 OPERADORES LÓGICOS 

NEGACIÓN

Este operador lógico cambia el valor de verdad de una proposición. Sea a una proposición, la negación de a, representada simbólicamente por ¬a, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

Ejemplo:

p: tengo mucho frió

la negación de p es:

¬p: no tengo mucho frió.

CONJUNCIÓN

Condición: es V cuando ambas son V.

Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además, etc.

Ejemplo:

p: me gusta pasear

q: me gusta salir de compras.

la conjunción seria:

p∧q: me gusta pasear y salir de compras.

DISYUNCIÓN

En español, la disyunción se presenta con el término gramatical “o”.

Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.

Ejemplo:

p: El presidente de Ecuador es Lenin Moreno

q: El presidente del ecuador es Hugo Chavez

p∨q:  El presidente de Ecuador es Lenin Moreno o  Hugo Chavez

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

O una o la otra (NUNCA ambas juntas)

Palabras conectivas:
O ......... o .....
O bien .... o bien

Condición: es V cuando uno es V y el otro es F.

Ejemplo:

p: Escucho música

q: veo televisión.

seria: escucho música o veo televisión

CONDICIONAL

Condición: es falsa sólo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es F.

Este operador lógico también se denomina enunciación hipotética o implicación. En la proposición a→b, a es el antecedente, hipótesis o premisa; b es el consecuente, conclusión o tesis:

Ejemplo:

p: Tomas es soltero

q: tomas puede casarse

p→q: tomas es soltero entonces puede casarse.

BICONDICIONAL

Palabras conectivas: si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición suficiente y necesaria para; etc.
Condición: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de verdad".

Ejemplo:

p: Juan ingresa a la Universidad

q: Juan estudia mucho

p↔q: Juan ingresa a la Universidad si y solo si estudia mucho.

1.3 CLASES DE PROPOSICIONES

Existen dos clases de proposiciones:

PROPOSICIONES SIMPLES:

También denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.

Ejemplos:

• ·        El cielo es azul. 
• ·        Carlos es un escritor.
• ·        Mi maleta es rosada
• ·        Esa caja es de madera
• ·        Esa chica es mi amiga 

PROPOSICIONES COMPUESTAS:

 También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.

Ejemplos:

• Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.
• Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.
• Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto.
•  El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42.        
•  El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.             

1.4 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS

 1)  Idempotencia 

p˄p ≡ p
p˅p ≡p


2)  Asociatividad 

(p˄q)˄r ≡ p˄(q˄r)
(p˅q)˅r ≡ p˅(q˅r)

3)  Conmutatividad 

p˄q ≡ q˄p
p˅q ≡ q˅p

4)  Distributividad 
p˄(q˅r) ≡ (p˄q)˅(p˄r)
p˅(q˄r) ≡ (p˅q)˄(p˅r)

5)  Identidad 

p˄(F) ≡ (F)
p˅(F) ≡ p
p˄(V) ≡ p
p˅(V) ≡ (V)

6)  Complemento 
p˄(~p) ≡ (F)
p˅(~p) ≡ (V)
~(~p) ≡ p
~(V) ≡ (F)
~(F) ≡ (V)

7) Condicionantes 
(p → q) ≡ (~p ˅ q)
(p → q) ≡ (~q → ~p)
(p ↔ q) ≡ (p → q) ˄ (q → p)
(p ↔ q) ≡ (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)

8) De Morgan
~(p ˅ q) ≡ (~p ˄ ~q)
~(p ˄ q) ≡ (~p ˅ ~q)
~(p → q) ≡ (p ˄ ~q)
~(p ↔ q) ≡ (~p ↔ ~q)

Ejemplos:

(p ↔ q) ≡ (p → q) ˄ (q → p)

p	q	(p ↔ q)	(p → q)	(q → p)	(p → q) ˄ (q → p)
V	V	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F
F	V	F	V	F	F
F	F	V	V	V	V

[(p∧q)→r] ≡ [p→(q→r)]

p	q	r	p∧q	[(p∧q)→r]	q→r	[p→(q→r)]
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F
V	F	V	F	V	V	V
V	F	F	F	V	V	V
F	V	V	F	V	V	V
F	V	F	F	V	F	V
F	F	V	F	V	V	V
F	F	F	F	V	V	V

(p → q) ≡ (~p ˅ q)

p	q	~p	(p → q)	(~p ˅ q)
V	V	F	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

(p˅q)˅r ≡ p˅(q˅r) 

p	q	r	(p˅q)	(p˅q)˅r	(q˅r)	p˅(q˅r)
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	V	V
V	F	V	V	V	V	V
V	F	F	V	V	F	V
F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V	V
F	F	V	F	V	V	V
F	F	F	F	F	F	F

1.5 RAZONAMIENTOS 

Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal y una proposición final denominada conclusión. 

Ejemplo:

Siendo a: como vegetales      b: la lógica es fácil           c: me divierto estudiando.         
Traducir:

• · (a ∧ b) ↔ c :  como vegetales y la lógica es fácil si y solo si me divierto estudiando
• ·   (b ∧ c) → a :  la lógica es fácil y me divierto estudiando entonces como vegetales.
• ·    ¬a → (¬b ∨ ¬c): no como vegetales entonces no es fácil la lógica o no me divierto estudiando.
• ·    (b ∧ a) → c : la lógica es fácil y como vegetales entonces me divierto estudiando

1.6 DEMOSTRACIONES

• Demostración Directa La forma más natural de demostración de un teorema o proposición que es una proposición condicional es la demostración directa. Analizando la tabla de verdad para P ⇒ Q, vemos que si queremos demostrar el teorema o proposición P ⇒ Q, es suficiente demostrar que Q es verdadera siempre que P lo sea (pues P ⇒ Q es verdadera cuando P es falsa).

• Demostración por Contra reciproca La demostración por contra reciproca se usa para demostrar, al igual que la demostración directa, teoremas y proposiciones que tienen la forma condicional P ⇒ Q. Esta forma de demostración se basa en el hecho de que P ⇒ Q es lógicamente equivalente a (¬Q) ⇒ (¬P), como muestra la siguiente tabla.

• Demostración por Contradicción Supongamos que queremos demostrar que una proposición P es verdadera. Una demostración por contradicción comienza suponiendo que P es falsa, esto es, que ¬P es verdadera y finaliza deduciendo que para una cierta proposición C, se tiene que C ∧ ¬C es verdadera. Esto es una contradicción, pues una proposición y su negación no pueden tener el mismo valor de verdad (recordemos la tabla de verdad para ¬).

• Otras Demostraciones Hay otros tipos de demostraciones menos comunes. Algunas son las siguientes (sólo las describiremos). Demostración por Casos. Supongamos que queremos demostrar P ∨ Q ⇒ R. Como (P ∨ Q ⇒ R) ≡ (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R), (verifíquelo) debemos considerar y demostrar dos casos, P ⇒ R y Q ⇒ R.

EJEMPLO:

P	Q	P⇒Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

P	Q	P↔ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

P	Q	¬P	¬Q	P⇒Q	(¬Q) ⇒ (¬P),
V	V	F	F	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V
F	F	V	V	V	V

P	Q	¬P	¬Q	C ∧ ¬C	(¬P) ⇒ (C ∧ ¬C)
V	V	F	F	F	V
V	F	F	V	F	V
F	V	V	F	F	F
F	F	V	V	F	F