DEFINICIÓN:
Un conjunto es la agrupación, clase, o colección de objetos o en
su defecto de elementos que pertenecen y responden a la misma categoría o grupo
de cosas, por eso se los puede agrupar en el mismo conjunto.
TIPOS:
*CONJUNTO VACÍO:
Ejemplo:
*conjunto de personas q viven en la luna.
*conjunto de perros que hablan.
*conjunto de peces que comen cocodrilos.
*CONJUNTO UNITARIO:
Ejemplo:
1) El conjunto de Satélites naturales del
planeta Tierra es un conjunto unitario formado por la Luna. X = { x / x es la
luna}
2) El conjunto de mamíferos que nacen en un
huevo es un conjunto unitario formado por el ornitorrinco. X = { x / x es el ornitorrinco}
3) El conjunto de electrones que tiene un
átomo de hidrógeno es un conjunto unitario formado por un electrón. X = { x / x
es un electrón}
*CONJUNTO FINITO:
Ejemplo:
1) El conjunto M es el conjunto de todos
los ríos del planeta tierra.
X = {x / x es un rio de la tierra}
2) El conjunto P es el conjunto de todos
los países del planeta tierra.
X = {x / x es un país de la tierra}
3) El conjunto M es el conjunto de todos
los meses del año.
X = {x / x es un mes del año}
*CONJUNTO INFINITO:
Ejemplo:
*Los números naturales.
*Las estrellas en el universo.
*Múltiplos de 3.
*CONJUNTO UNIVERSO:
Ejemplo:
* Sean
los conjuntos:
A = {aves} B = {peces} C = {anfibios} D = {tigres}
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de
todos los animales.
U = {animales} Este sería el conjunto universal.
U = {animales} Este sería el conjunto universal.
* Sean los conjuntos:
E = {mujeres} F = {hombres}
El conjunto que incluye a los conjuntos E y F es el universo, conformado
por
U = {seres humanos} Conjunto Universal.
U = {seres humanos} Conjunto Universal.
* Sean los conjuntos:
A=
{Vocales} B = {Consonantes}
El
conjunto universal serían U = Letras.
2.2 CARDINALIDAD
Es la
cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A)
·
A = {x/x es un dígito impar en el sistema de numeración decimal} N(A) =
5, porque A = {1, 3, 5, 7, 9}
·
El conjunto A={a,e,i,o,u} tiene cinco elementos por lo tanto se tiene
que n(A)=5
·
Conjunto A={2,4,6,8,10,12,14}
entonces n(A)=7
·
Conjunto A= {%,&,/,?,¿,*} entonces
N(A)=6
·
A={amarillo, azul, rojo} tiene tres elementos por lo tanto N(A)=3
2.3 CUANTIFICADORES
Cuando
se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o
Matemáticas en general, se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan
para indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer
“cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta
propiedad.
Cuantificador Universal
Cualquier
expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada”, constituye en
el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀.
·
∀x, 2x+3x
= 5x Se lee “Para todo número x se cumple que 2x+3x=5x”.
Cuantificador existencial
Cualquier expresión de la forma: “existe”,
“algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno”, constituye en el
lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de ∃.
·
∃x, 2x+2
= 4 Se lee “Existe al menos un número x, para el cual 2x+2=4”.
2.4 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Las
operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.
De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.
* UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS.
Es la
operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto
que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan.
Es decirdado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B
estará formado por todos los elementos de A y con todos los elementos de B sin
repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de
unión es el siguiente: ∪∪.
Ejemplo 1.
Dados dos
conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será Au∪u∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente
*
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
Es la
operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados
en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los
conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que
sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se
usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩∩.
Ejemplo 1.
Dados dos
conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos
será A∩∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos
A={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet},
la intersección será A∩∩B={x/x estudiantes que juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
* DIFERENCIA DE CONJUNTOS.
Es la
operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al
primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia
de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que
no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que
se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1.
Dados dos
conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será
A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos
conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será
B-A={6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3.
Dados dos
conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan
básquet}, la diferencia de F con B, será F-B={x/x estudiantes que sólo juegan
fútbol}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
*
DIFERENCIA DE SIMÉTRICA DE CONJUNTOS.
Es la
operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica
estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El
símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el
siguiente: △.
Ejemplo 1.
Dados dos
conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos
conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos
conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan
básquet}, la diferencia simétrica será F △ B={x/x estudiantes que sólo juegan fútbol y básquet}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
* COMPLEMENTO
DE UN CONJUNTO.
Es la
operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado
un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el
conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del
conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al
conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un
apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el
conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo 1.
Dado el
conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={3,4,5,6,7,8}, el
conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={1,2,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dado el
conjunto Universal U={x/x estudiantes de un colegio} y el conjunto V={x/x
estudiantes que juegan voley}, el conjunto V' estará formado por los siguientes
elementos V'={x/x estudiantes que no juegan voley}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
2.4 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
PROPIEDAD:
|
UNIÓN
|
INTERSECCIÓN
|
ASOCIATIVA
|
(A B) C = A (B C)
|
(A B) C = A (B C)
|
CONMUTATIVA
|
A B = B A
|
A B = B A
|
IDEMPOTENTE
|
A A = A
|
A A =A
|
ABSORCIÓN
|
A (B A) = A
|
A (A B) = A
|
DISTRIBUTIVA
|
A (B C) = (A B) (B A)
|
A (B C)
= (A B) (A C)
|
NEUTRALIDAD
|
A Ø = A
|
A U = A
|
A U = U
|
A Ø = Ø
|
|
COMPLEMENTACIÓN
|
A A l = U
|
A A l = Ø
|
LEY DE DE MORGAN
|
(A B) l = A l B l
|
(A B) l = A l B l
|
2.5 RELACIONES
En matemática, Relación es la correspondencia de un
primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido
o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más
elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es
una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le
corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones,
pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación,
pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano
Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un
conjunto de parejas ordenadas ( par ordenado ) que hacen verdadera
una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del
producto cartesiano A x B
Ejemplo:
Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones
definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes
parejas o pares ordenados:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones
definidas de A en B:
R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo
segundo elemento es 1, esto es, R1 = {( x , y ) / y =
1}.
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente
es menor que el segundo componente, R2 = {( x , y ) / x < y }
Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen
con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente,
dicho de otro modo, R3 = {( x , y ) / y = x
+ 2}
Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir
de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir
mediante ecuaciones o desigualdades que
relacionan los valores de x e y . Estas reglas son un medio
conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.
v Ejemplo:
Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos
los pares ordenados ( x , y ) que satisfagan la relación
R = {( x , y ) / x + y =
3}
Solución
El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes
pares ordenados
C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3),
(–3, 6)}
Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus
componentes sea igual a 3 son:
R = {(1, 2), (–3, 6)}
Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida,
el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En
el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C ,
el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y =
3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.
Dominio y rango de una relación
El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes ; es
decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están
relacionados. Al conjunto de imágenes , esto es, elementos del
conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o
rango .
Ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “ y es el doble de x ” o “ y = 2 x ”, encontrar dominio y rango de la relación.
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “ y es el doble de x ” o “ y = 2 x ”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto
cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2,
5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4,
5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es
la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el
conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo
tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento
del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.
2.6 FUNCIONES
En matemática, una función (f) es una relación entre
un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de
elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del
codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito ).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas
equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones
cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su
duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
Ejemplo:
- · f(x) = 1/x; el dominio de esta función son todos los números reales excepto el 0, ya que para x = 0 la función 1/x no está definida.
- · f(x) = x2; el dominio de esta función son todos los números reales.
- f(x)=-2x*2-4 el dominio son todos los numeros reales y su rango es [-4,-infinito)
- · f(x) = x1/2 son todos los números reales >= 0, ya que para números negativos no está definida la función de raíz cuadrada.
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