3. NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).

 3.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

1) Conjunto de los Números Naturales (N).
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:

·         Tiene un número infinito de elementos

·         Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

·         El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

2) Conjunto de los Números Cardinales (N*).
N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....} Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

3) Conjunto de los números fraccionarios (Q+)
Q+ = { 0, ½ , 2, 3/4 3, 9/7,.....}

Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números naturales, cuando el dividendo es múltiplo del divisor y distinto de cero esta operación no tiene solución dicho conjunto.
Los números fraccionarios son aquellos que se expresan de las forma o como una expresión decimal periódica.

4) Conjunto de los Números Enteros (Z).
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?).
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).
Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos.
Z = Tiene 3 Subconjuntos:

·         Enteros Negativos: Z ¯

·         Enteros Positivos: Z +

·         Enteros Positivos y el Cero: Z+ U {0}

Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.
Z = Z - U {0} U Z +

5) Conjunto de los Números Racionales Q.
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los números naturales, números cardinales y números enteros.
Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a/b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.
El conjunto de los números racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros (Z).

Se expresa por comprensión como: Q = { a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

6) Conjunto de Números Irracionales (I).

I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.
Ejemplos: 1,4142135....
0,10200300004000005....

7) Conjunto de Números Reales (R).
R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼ , √2, 5 , .....}

Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R. R= {Q U irracionales}.

8) Conjunto de Números Imaginarios (i)

Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = √-1.
Debes tener en cuenta:
i2 = -1, i 3 = - i, i 4 = 1.

9) Conjunto de Números Complejos (C)

La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos denotados por C.

3.2 OPERACIONES ENTRE NÚMEROS REALES

Adición de Números Reales

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a+b=b+a

al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:

a+(−b)=(−b)+a=−b+aa+(−b)=(−b)+a=−b+a

Por ejemplo, podemos tomar los dos sumandos, 77  y −11−11. El orden de estos, al sumarlos, no va a alterar el resultado, ya que se trata al sumando como un término en su valor absoluto. Pero si se lo tomara por su valor relativo, no se podría sumar 7+11 o 11+7 y esperar el mismo resultado que:

7+(−11)=−11+7=−47+(−11)=−11+7=−4

En este caso, el resultado es negativo, ya que el sumando con valor negativo es mayor que el término con valor positivo.

Sustracción de Números Reales

A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.

a−b≠b−a

Donde a+(−b)a+(−b)  si es igual a (−b)+a(−b)+a. Por lo cual, para poder cambiar de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.

Multiplicación de números Reales

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.

a×b=ca×b=c

Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

+⋅+=++⋅+=+

+⋅−=−+⋅−=−

−⋅+=−−⋅+=−

−⋅−=+−⋅−=+

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a×−b=c

Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.

a×−b=−c

−a×b=−c

Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.

a×−b×−c=d

a×−b×c=−d

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a×1=a

Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a×0=0

División de números Reales

En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.

a−b=−ab=−aba−b=−ab=−ab

Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.

Potenciación de números Reales

La potenciación tiene varias reglas como:

a0=1

a1=a

Multiplicación y división de potencias con la misma base.

am×an=am+n

am÷an=am−n

Potencia de potencia.

(am)n=am×n

Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.

an×bn=(a×b)

an÷bn=(a÷b)n

3.3 RELACIÓN DE ORDEN

Sea R una relación binaria en un conjunto A. Si R satisface las propiedades reflexiva, antisimetrica y transitiva se dice que R es una relación de orden. En este caso si a y b son elementos de A tales que aRb, lo denotaremos por a ≤ b. Si ≤ verifica la propiedad de que dados a y b en A, entonces a ≤ b o b ≤ a, entonces la relación ≤ se denomina de orden total.

• 5 > 3 ⇔ 5 = 3 + 2, siendo 2 ∈ Z+
• − 4 > −7 ⇔ − 4 = −7 + 3, siendo 3 ∈Z +
• 3<7⇔ 3=7-4, siendo 4 ∈Z-
• 6<9⇔6=9-3, siendo -3∈Z-
• 10>2⇔10=2+8, siendo 2∈Z+

3.4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2

Un tercio de un número: x/3

Un cuarto de un número: x/4

Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Un número par: 2x

Un número impar: 2x + 1

Dos números consecutivos: x y x + 1

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

La suma de dos números es 24: x y 24 − x

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x

El producto de dos números es 24: x y 24/x

El cociente de dos números es 24: x y 24 · x 

EJERCICIOS:

1.- 

2.- (2x³)³ = 2³ · (x³)³= 8x⁹

3.--2x²y³z + 3x²y³z = (2 + 3)x²y³z = 5x²y³z

4.-

5.-

3.5 RAZONES Y PROPORCIONES

Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.

proporción es una igualdad entre dos razones.

Propiedades de las proporciones

En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.

ejemplos

1.-       

2.       

3.-  

4.-       

5.-    

3.6 VALOR ABSOLUTO

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuestode a, si a es negativo.

|x| = 2   x = −2   x = 2

|x|< 2    −2 < x < 2   x  (−2, 2 )

|x|> 2  x < −2 ó x > 2    (−∞, −2 )  (2, +∞)

Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

     |a| = |−a|

Ejemplo:

|5| = |−5| = 5

El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

Ejemplo:

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|

|−10| = |5| · |2|   

  10 = 10

El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

Ejemplo:

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|     

 |3| ≤ |5| + |2|     

3 ≤ 7

3.7 ECUACIONES

Una ecuación o igualdad condicional, es aquella que es verdadera sólo para algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.

*

Despejamos la incógnita:

*

*

ECUACIONES CUADRÁTICAS

*

*

3.8 INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

EJEMPLOS:

1. 2x − 1 < 7

2x < 8     x < 4

(-∞, 4)

2. 2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]

3. 2x − 1 > 7

2x > 8     x > 4

(4, ∞)

4. 2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8     x ≥ 4

[4, ∞)

5.-

(1, ∞)