8. GEOMETRÍA DEL ESPACIO

8.1 SISTEMA TRIDIMENSIONAL 

Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí,
los cuales  se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejes Ox, Oy y Oz. 

Las coordenadas del punto E de la figura son (x, y, z).
La distancia signada como x se llama abscisa; y se llama ordenada, y z se llama cota.
Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.

Los signos de las coordenadas se ilustran en la siguiente figura:

EJEMPLO 1:

Un cubo tiene una arista de 8 unidades y se ubica en el sistema cartesiano tal como se ilustra en la siguiente figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P? 

En la figura, se cumple que x = 0; y = 8 y z = 8,
Por tanto, sus coordenadas son (0, 8, 8).
 - ¿Cuál será la medida del trazo OP? ¿Y el trazo OA?
Si observas la figura, identificarás que el trazo OP es la diagonal de una de sus caras. Como cada arista mide 8, entonces:

El trazo OA es la diagonal principal del cubo, y aplicando, a partir del cálculo anterior, el Teorema de Pitágoras en el triángulo que se forma en el espacio OAP, tenemos que:

En general, podemos determinar que la diagonal principal de un cubo de lado a es igual a:

Más generalizado, podemos determinar que la diagonal principal de un paralelogramo
de largo a, ancho b y  altura c tiene la forma .

EJEMPLO 2 :

La diagonal principal de un paralelepípedo de lados  5, 10 y 12, tiene el valor de

Un ejemplo práctico de sistema de coordenadas tridimensionales, se puede ver en el computador al diseñar un cubo en tres dimensiones y que este pueda moverse a través de un programa.

Lo primero que se debe hacer es ubicar las coordenadas de los puntos principales del cubo.
Observa que el centro del sistema en este caso está ubicado en el centro del cubo donde se trazaron los ejes X, Y y Z.

8.2 POLIEDROS

Sólido limitado por superficies planas (polígonos). Sus partes se denominan:

• caras: polígonos que limitan al poliedro,
• aristas: lados de las caras del poliedro,
• vértices: puntos donde concurren varias aristas.

Clasificación de los Poliedros

Los poliedros se clasifican básicamente en:

• poliedros regulares
• poliedros irregulares

Poliedro Regular

Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan:

• tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 triángulos equiláteros iguales,
• hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales,
• octaedro regular: poliedro regular definido por 8 triángulos equiláteros iguales,
• dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12 pentágonos regulares iguales,
• icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 triángulos equiláteros iguales.

poliedros regulares

Poliedro Irregular

Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales.

Clasificación de los Poliedros Irregulares
Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en:

• tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro,
• pirámide
• prisma

denominación de los poliedros irregulares,
según el número de sus caras

Pirámide

Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de la pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se clasifican en:

• pirámide recta: el eje es perpendicular al polígono base,
• pirámide oblicua: el eje no es perpendicular al polígono base,
• pirámide regular: la base es un poligono regular,
  • pirámide regular recta: la base es un poligono regular y el eje es perpendicular al polígono base.
  • pirámide regular oblicua: la base es un poligono regular y el eje no es perpendicular al polígono base.

pirámides

Prisma

Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se clasifican en:

• prisma recto: el eje es perpendicular a los polígonos base,
• prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polígonos base,
• prisma regular: las bases son poligonos regulares,
  • prisma regular recto: las bases son poligonos regulares y el eje es perpendicular a los polígonos base.
  • prisma regular oblicuo: las bases son poligonos regulares y el eje no es perpendicular a los polígonos base.
• paralelepipedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos

prismas

EJEMPLO 3:

• Calcula el área y el volumen de un cubo de arista 2 m.

• Calcula el área y el volumen de un prisma recto de altura 3 m y que tiene por base un triángulo equilatero de 2 m de arista.

10. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

10.1 PUNTOS Y RECTA
¿Qué es un punto?

El punto es el elemento base de la geometría, ente fundamental, porque con él determinamos las rectas y los planos. Podemos definirlo también, como la intercesión de dos líneas. Sirve para indicar una posición y no tiene dimensión.

¿Qué es una recta?
Una recta es una sucesión ininterrumpida de puntos con una misma dirección, por lo tanto sólo tiene una dimensión. Dos puntos determinan una recta la recta es infinita, no posee ni principio ni fin.

Tipos de rectas

• Recta: La recta propiamente dicha se caracteriza porque los puntos que la forman están en la misma dirección. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.

• Semirrecta: Es línea recta que tiene origen pero no tiene fin, tiene sólo un sentido, y no se puede medir.

• Segmento: Un segmento es una línea recta que tiene principio y fin, un segmento se puede medir.

• Poligonal: Se llama recta poligonal aquella que está formada por varias porciones de rectas que están unas a continuación de otras, pero no están alineadas, la línea poligonal puede ser abierta (cuando ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el último). La línea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama polígono.

• Curva:Una curva está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser curva abierta (los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) y curva mixta (formada por lineas rectas y curvas unidas)

Posiciones de las rectas:

• Dos rectas son paralelas: si no tienen ningún punto en común.

• Dos rectas son secantes: cuando tienen un punto en común.

• Dos rectas son perpendiculares: cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos.

Posición de las rectas en el espacio

• Horizontal
• Vertical
• Inclinada

La linea curva puede ser:

• Circunferencia, es una curva regular cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro llamado centro.

• Elípse, es una curva regular cerrada que se diferencia de la anterior porque la suma de la distancia de cada uno de sus puntos respecto a otros dos que están en su interior es siempre igual.

• Espiral es una curva regular abierta que gira sobre sí misma.

• Parábola es una curva regular abierta, cada uno de sus puntos está a una distancia siempre igual de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

ECUACION DE LA RECTA

La ecuación de una recta es de la forma

$$y=ax+b$$

EJEMPLO  1:

Al número a se le llama pendiente y a al número b, término independiente u ordenada al origen.

---

Puntos de corte de una Recta

Puntos de corte o intersección con los ejes:

Con el eje OY (de ordenadas)
Ocurre cuando x = 0. Sustituimos x por 0 en la ecuación y obtenemos el valor de y. Es decir, y = b. El punto es (0, b).
Ejemplo:

Con el eje OX (de abscisas):
Ocurre cuando y = 0. Sustituimos y por 0 en la ecuación y calculamos x. Es decir,

El punto es (-b/a,0).
Ejemplos:

---

Rectas especiales

Hay dos casos particulares de rectas: las verticales y las horizontales.

Recta horizontal:
Son las rectas que no tienen pendiente, es decir, es una recta paralela al eje OX.
Son de la forma

$$y=k$$

Esta recta corta al eje OY en el punto (0,k) y si k = 0, entonces la recta coincide con el eje OX.

EJEMPLO 2:

Recta vertical:
Son rectas paralelas al eje de ordenadas (eje OY).
Son de la forma

$$x=k$$

Esta recta corta el eje OX en el punto (k,0) y si k = 0, entonces la recta coincide con el eje OY.

EJEMPLO 3:

EJEMPLO 4 :

 Hallar la ecuaci�n de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = - 5.

Tienes que hallar la ecuaci�n de la recta, esto es, y = mx + b.

Usa la informaci�n que te dan: m = - 5 y sustituye en la ecuaci�n:

y = - 5x + b

Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una soluci�n de la ecuaci�n que estas buscando. Sustituye esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuaci�n que estas buscando: 2 = - 5 ( 1 ) + b

Despeja la variable b en: 

2 = - 5 ( 1 ) + b

2 = - 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

Sustituye el valor de b en la ecuaci�n que estas buscando: y = - 5x + 7

La ecuaci�n es y = - 5x + 7.

EJEMPLO 5 :

Calcular la recta que pasa por el punto A( 7,7) y que tiene pendiente -3. ¿Pasa también por el origen? El origen es el punto O(0,0).

La ecuación de la recta será de la forma

como la pendiente tiene que ser -3, tenemos que a = -3.
Puesto que la recta pasa por el punto A, sus coordenadas verifican la ecuación. Sustituyendo en la ecuación obtenemos b:

Por tanto, la ecuación de la recta es

Si la recta pasa por el origen, sus coordenadas verifican la ecuación. Es decir, para x = 0tenemos que obtener y = 0, pero obtenemos

Así que la recta no pasa por el origen.
La gráfica de la recta es

10.2 CIRCUNFERENCIA

Para lograrlo debemos conocer dos elementos importantes:

- el centro de la circunferencia (C), dado por sus coordenadas

- el radio (r) de la misma circunferencia

Definido esto, tendremos dos posibilidades :

A) Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)

B) Y circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas; expresado, por ejemplo, como C (3, 2) .

A continuación analizaremos cuatro casos

Caso 1

Veamos la gráfica siguiente: 

Los datos que nos entrega son:

Centro:  C (0, 0) , el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y

radio: r = 3 , lo indica el 3 en cada una de las coordenadas.

Recordar esto:

Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x 2 + y 2 = r 2 para expresar dicha circunferencia en forma analítica ( Geometría analítica ) . Esta ecuación se conoce como ecuación reducida .

Para la gráfica de nuestro ejemplo, reemplazamos el valor de r en la fórmula x 2 + y 2 = 3 2 
y nos queda x 2 + y 2 = 9 como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba.

Ojo: Si nos dieran la ecuación x 2 + y 2 = 9 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 3 (3 2 = 9 y la raíz cuadrada de 9 es 3)

Caso 2

Veamos la gráfica siguiente:

Los datos que nos entrega son:

Centro:  C (0, 0) , el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y

radio: r , lo desconocemos, pero tenemos un dato: el punto P (3, 4) ubicado en la circunferencia.

Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x 2 + y 2 = r 2 para expresar dicha circunferencia en forma analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida .

Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x 2 + y 2 = r 2 , pero resulta que no lo conocemos.

Entonces, a partir del dato P (3, 4) podemos calcular el valor del trazo que une este punto con el centro C (0, 0) (trazo PC con línea punteada en la figura), el cual corresponde al radio de la circunferencia dada.

¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre P y C (el radio de la circunferencia)?

Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:

No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos ; por lo mismo, debemos saber que en ella

(x 2 ─ x 1 ) 2 representa al punto 1, y ese punto 1 (P 1 ) lo haremos corresponder con el punto que pasa por el centro C (0, 0)

(y 2 ─ y 1 ) 2 representa al punto 2, y ese punto 2 (P 2 ) lo haremos corresponder con el punto que pasa por P (3, 4).

Es muy importante conocer o designar este orden ya que

Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la distancia (d) entre los dos puntos que nos interesan, la cual será nuestro radio:

El 5 nos indica la distancia entre los dos puntos, el centro de la circunferencia y uno de sus puntos, lo cual corresponde al radio .

Recordemos de nuevo :

Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x 2 + y 2 = r 2 para expresar dicha circunferencia en forma analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida .

Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x 2 + y 2 = r 2 , pero resulta que no lo conocemos.

Pero tenemos identificados dos puntos opuestos en la circunferencia, los cuales unidos entre sí (la línea punteada entre A y B en la gráfica) representan al diámetro de la misma. Entonces, a partir de esos puntos, A (-3, -2) y B (3, 2), podemos calcular el valor del trazo que los une (trazo AB con línea punteada en la figura), el cual corresponde al diámetro de la circunferencia dada.

¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre A y B (el diámetro de la circunferencia)?

Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:

No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos; por lo mismo, debemos saber que en ella

(x 2 ─ x 1 ) 2 representa al punto 1, y ese punto 1 (P 1 ) lo haremos corresponder con el punto A (-3, -2)

(y 2 ─ y 1 ) 2 representa al punto 2, y ese punto 2 (P 2 ) lo haremos corresponder con el punto B (3, 2).

Es muy importante conocer o designar este orden ya que

Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la distancia (d) entre los dos puntos que nos interesan, la cual será nuestro diámetro

El 7,2 (valor aproximado) nos indica la distancia entre los dos puntos, A y B, la cual corresponde al diámetro de la circunferencia. 
Para conocer el valor del radio, simplemente dividimos por 2 dicho diámetro, y nos queda r = 3,6 ≈

Conocido el radio lo reemplazaremos en la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen de las coordenadas, que es:

x 2 + y 2 = r 2

la cual nos queda

x 2 + y 2 = (3,6) 2 .

x 2 + y 2 = 13 ≈  como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba (en la cual nos indicaron un centro y dos puntos opuestos en ella).

Esta ecuación también podía obtenerse haciendo el cálculo para la distancia entre uno de los puntos dados y el centro, como se vio en el caso 2

Ojo: Si nos dieran la ecuación x 2 + y 2 = 13 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 3,6 (3,6) 2 = 13 y la raíz cuadrada de 13 es 3,6 ≈).

Caso 4

Tenemos la gráfica de una circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0), no hay otro dato sobre coordenadas, pero se me indica que tiene un área de 10 u 2 (diez unidades cuadráticas).

10.3 PARÁBOLA

La ecuación general de una parábola es

$$y=a{x}^2+bx+c$$

los coeficientes b y c pueden ser 0. Si a = 0, es una recta y no una parábola.

• Cuando a > 0, la parábola tiene forma de U.
  
  
• Cuando a < 0, tiene forma de U invertida.
  
  

Puntos de corte

Con el eje OY (de ordenadas):
Ocurre cuando x = 0. Es decir, y = c. El punto es (0,c).

EJEMPLO 6:

Con el eje OX (de abscisas):
Ocurre cuando y = 0. Es decir,

$$0=a{x}^2+bx+c$$

Tenemos una ecuación de segundo grado. Por tanto, puede haber 1, 2 o ningún punto de corte.

EJEMPLO  7:

La parábola y = x² - 2x + 1 tiene sólo un punto de corte con el eje de abscisas ya que la ecuación sólo tiene una solución:

$$x=\frac{2\pm \sqrt{4-4}}{2}=\frac{2\pm 0}{2}=1$$

La parábola y = x² - 4x + 3 tiene dos puntos de corte con el eje de abscisas ya que la ecuación tiene dos soluciones:

$$x=\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}=3,1$$

La parábola y = - x² + 2x - 2 no tiene puntos de corte con el eje de abscisas ya que la ecuación no tiene soluciones (reales):

$$x=\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}=\frac{-2\pm \sqrt{-4}}{-2}$$

---

Vértice

El vértice de una parábola es su punto máximo o mínimo (uno de los dos). Es el máximo si la parábola tiene forma de U invertida y es el mínimo si tiene forma de U.

EJEMPLO  8:

El vértice de la parábola y = -2x² - 1 es un máximo.

El vértice de la parábola y = 2x² - 5 es un mínimo.

El vértice está en el punto cuya primera coordenada es

Para saber la coordenada y tenemos que substituir en la ecuación el valor de x.

EJEMPLO 9 : 

Calcular los puntos de corte de la siguiente parábola con los ejes de coordenadas:

problemas resueltos de parábolas 

Podemos escribir la ecuación en forma factorizada como

Puntos de corte con el eje de abscisa (eje OX): ocurre cuando y=0. Sustituimos en la ecuación y obtenemos

Y como la ecuación de segundo grado está factorizada no es necesario aplicar la fórmula cuadrática. Las soluciones son x=0,1.

Luego tenemos dos puntos de corte

Punto de corte con el eje de ordenadas (eje OY): ocurre cuando x=0. Sustituimos en la ecuación y obtenemos

El punto es (0,0).

Notemos que hemos obtenido el punto (0,0) (el origen) como punto de corte con el eje de abscisas y el de ordenadas. Y es que, en efecto, en el origen, la parábola corta a los dos ejes.

Calculamos ahora el vértice y con los puntos de corte y el vértice podemos graficar rápidamente la parábola:

El valor de y lo obtenemos sustituyendo el valor de x en la ecuación:

El vértice es

La gráfica es

EJEMPLO 10 :

Encontrar las dos parábolas que cortan al eje de abscisas (eje OX) en los puntos A(0,0), B(2,0) pero con vértices distintos (1,-5) y (1,-2).

La ecuación general de una parábola

Sabemos que las dos rectas pasan por los puntos

Luego dichos punto verifican la ecuación. Los sustituimos en:

Por tanto, ya sabemos que ambas parábolas son la ecuación

El valor de a lo obtendremos a partir del vértice, que sabemos que son

Sustituimos en la ecuación:

Por tanto, una de las parábolas es

Del otro vértice obtenemos

Luego la otra parábola es

Con los 3 puntos de cada parábola podemos graficarlas rápidamente

10.4 ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F₁ y F₂) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d₁ y d₂ es constante.

También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.

Elementos de una elipse

Los elementos más importante de la elipse son:

• Focos: son los puntos fijos F₁ y F₂ que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d₁ y d₂) es constante.
• Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F₁F₂=2c. c es la semidistancia focal.
• Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
• Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
  
  

• Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:
  
  
  Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.
• Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF₁ y PF₂ (en el dibujo, d₁ y d₂).
• Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F₁F₂, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los puntos I, J, K y L

Ecuación de una elipse

Los puntos pertenecientes a la elipse (x,y) son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante. La ecuación de la elipse es la siguiente:

En el caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la ecuación es:

Área de una elipse

El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).

En el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):

Perímetro de una elipse

El cálculo del perímetro de la elipse (o longitud de la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):

El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior :

Excentricidad de la elipse

La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y a el semieje mayor:

La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F₁ y F₁) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).

Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:

EJEMPLO 11:

EJEMPLO 12: