6.1 DEFINICIÓN Y CLASES

Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Matriz Fila: Es una matriz con una única fila.
Matriz Columna: Es una matriz con una única columna.
Matriz nula: Matriz con todos sus elementos nulos.
Matriz rectangular: Matriz con distinto número de filas y columnas.
Matriz traspuesta: Dada una matriz A es la matriz obtenida cambiando sus filas por sus columnas. La denotamos por At.
Matriz Cuadrada: Matriz con tantas filas como columnas.

Clasificación de matrices cuadradas
Diagonal: Todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son todos nulos.
Escalar: Es una matriz diagonal que tiene a todos los elementos de la diagonal principal iguales.
Unidad: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Triangular superior: Todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos.
Triangular inferior: Todos los elementos sobre la diagonal principal son nulos.
Inversible o regular: Matriz que tiene inversa.
Singular: Matriz que no tiene inversa
Simétrica: Matriz que coincide con su traspuesta A = A^t
Antisimétrica o hemisimétrica: Es una matriz en la que se verifica que b_ij = - b_ji A = -A^t Por tanto su diagonal principal está formada por ceros.
Ortogonal: Es una matriz que verifica A · A^t=I
Involutiva: Es una matriz que verifica que A² =

6.2 OPERACIONES CON MATRICES

SUMA Y RESTA DE MATRICES

La suma de dos matrices (Aij), (Bij) de la misma dimensión, es otra matriz (Rij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij.

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

Suma de Matrices: (Aij) + (Bij) = (Aij + Bij)

Resta de Matrices: (Aij) – (Bij) = (Aij – Bij)

EJEMPLO 1:

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Multiplicación y división de Matrices

Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse, A · B, es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda.

En tal caso, el producto A · B=C es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda, del siguiente modo:

Aik·Bkj=Cij

La matriz C resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B

EJEMPLO 2:

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir:

A/B = A·B-1

Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica por el número cada término de la matriz.

EJEMPLO 3:

Para dividir una matriz por un número, se divide por el número cada término de la matriz.

EJEMPLO 4:

6.3 DETERMINANTES Y PROPIEDADES

A cada matriz cuadrada de orden n se le puede asociar un número real llamado determinante de la matriz.
Si A es una matriz representaremos al determinante de A por |A|.

Determinante de una matriz de orden 1

Si A=(a) es una matriz de orden 1 entonces |A| = a.

Ejemplos de determinantes de matrices de orden 1

Si A = (7), entonces |A| = 7
Si B = (27), entonces |B| = 27
Si C = (-37), entonces |C| = -37
Si D = ( e ), entonces |D| = e
Si E = ( - π ), entonces |E|= - π}

Determinante de una matriz de orden 2

El determinante de una matriz A de orden 2

es el número real

o, lo que es lo mismo, la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Esquemáticamente esto puede representarse como sigue:

Ejemplos de determinantes de matrices de orden 2

EJEMPLO 5:

EJEMPLO 6:

Hallar x para que el determinante de la matriz A valga 7

Basta con aplicar la fórmula de cálculo del determinante:

Por tanto si x = 13, |A| = 13 · 1 - 3 · 2 = 13 - 6 = 7, tal como queríamos.

Determinantes de orden 3

El determinante de una matriz A de orden 3

Se define como el número real

Esta fórmula se conoce como regla de Sarrus. Esquemáticamente podemos representarla como sigue:

Ejemplos de determinantes de matrices de orden 3

EJEMPLO 8:

Hallar x para que el determinante de la matriz B valga 0

6.4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Método de sustitución

EJEMPLO 9:

Buscamos la incógnita mas fácil de despejar, en este caso, escogemos la incógnita y de la primera ecuación lineal.

y = 3x - 1

Sustituimos en la segunda ecuación y simplificamos:

2x + 3(3x - 1) = 8 ⇒ 2x + 9x - 3 = 8 ⇒ 11x = 11 ⇒ x = 1

Calculado el valor de la x podemos hallar y:

y = 3x - 1 = 3 · 1 - 1 ⇒ y = 2

Método de igualación

EJEMPLO 10:

Despejamos en ambas ecuaciones la misma incógnita, por ejemplo, despejaremos y:

3x - y = 1 ⇒ y = 3x - 1

2x + 3y = 8 ⇒ y = (8 - 2x)/3

Igualamos ambos resultados y simplificamos:

3x - 1 = (8 - 2x)/3 ⇒ 9x - 3 = 8 - 2x ⇒ 11x = 11 ⇒ x = 1

Calculado el valor de la x , hallamos el valor de y usando, por ejemplo, la primera de las ecuaciones:

y = 3x - 1 = 3 · 1 - 1 y = 2

Método de reducción

Buscamos la eliminación de una de las incógnitas en alguna de las ecuaciones. Para ello, hacemos lo siguiente:

• Multiplicamos una de las ecuaciones por un número, de manera que se igualen, en valor absoluto, los coeficientes de una de las incógnitas.

• Sumamos ambas ecuaciones.

EJEMPLO 11:

En este caso, trataremos de igualar los coeficientes de la incógnita y . Para ello, multiplicamos la primera ecuación por 3. Después sumamos ambas ecuaciones.