6. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

6.1 DEFINICIÓN Y CLASES

Se puede definir  una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Matriz Fila:  Es una matriz con una única fila.
Matriz Columna: Es una matriz con una única columna.
Matriz nula: Matriz con todos sus elementos nulos.
Matriz rectangular: Matriz con distinto número de filas y columnas.
Matriz traspuesta: Dada una matriz A es la matriz obtenida cambiando sus filas por sus columnas. La denotamos por At.
Matriz Cuadrada: Matriz con tantas filas como columnas.

Clasificación de matrices cuadradas
Diagonal: Todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son todos nulos.
Escalar: Es una matriz diagonal que tiene a todos los elementos de la diagonal principal iguales.
Unidad: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Triangular superior: Todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos.
Triangular inferior: Todos los elementos sobre la diagonal principal son nulos.
Inversible o regular: Matriz que tiene inversa.
Singular: Matriz que no tiene inversa
Simétrica: Matriz que coincide con su traspuesta      A = At
Antisimétrica o hemisimétrica: Es una matriz en la que se verifica que     bij = - bji    A = -At Por tanto su diagonal principal está formada por ceros.
Ortogonal: Es una matriz que verifica   A · At=I
Involutiva: Es una matriz que verifica que    A2 =

6.2 OPERACIONES CON MATRICES SUMA Y RESTA DE MATRICES La suma de dos matrices (Aij), (Bij) de la misma dimensión, es otra matriz (Rij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. Suma de Matrices: (Aij) + (Bij) = (Aij + Bij) Resta de Matrices: (Aij) – (Bij) = (Aij – Bij) EJEMPLO 1: Multiplicación y división de Matrices Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse, A · B, es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda. En tal caso, el producto A · B=C es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda, del siguiente modo: Aik·Bkj=Cij La matriz C resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B EJEMPLO 2: La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir: A/B = A·B-1 Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica por el número cada término de la matriz. EJEMPLO 3: Para dividir una matriz por un número, se divide por el número cada término de la matriz. EJEMPLO 4:

6.3 DETERMINANTES Y PROPIEDADES

A cada matriz cuadrada de orden n se le puede asociar un número real llamado determinante de la matriz.
Si A es una matriz representaremos al determinante de A por |A|.

Determinante de una matriz de orden 1

Si A=(a) es una matriz de orden 1 entonces |A| = a.

Ejemplos de determinantes de matrices de orden 1

• Si A = (7), entonces |A| = 7
• Si B = (27), entonces |B| = 27
• Si C = (-37), entonces |C| = -37
• Si D = ( e ), entonces |D| = e
• Si E = ( - π ), entonces |E|= - π}

Determinante de una matriz de orden 2

El determinante de una matriz A de orden 2

es el número real

o, lo que es lo mismo, la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Esquemáticamente esto puede representarse como sigue:

Ejemplos de determinantes de matrices de orden 2 

EJEMPLO 5:

EJEMPLO 6:

Hallar x para que el determinante de la matriz A valga 7

Basta con aplicar la fórmula de cálculo del determinante:

Por tanto si x = 13,     |A| = 13 · 1 - 3 · 2 = 13 - 6 = 7, tal como queríamos.

Determinantes de orden 3

El determinante de una matriz A de orden 3

Se define como el número real

Esta fórmula se conoce como regla de Sarrus. Esquemáticamente podemos representarla como sigue:

Ejemplos de determinantes de matrices de orden 3

EJEMPLO 8:

Hallar x para que el determinante de la matriz B valga 0

6.4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

• Método de sustitución

EJEMPLO 9:

Buscamos la incógnita mas fácil de despejar, en este caso, escogemos la incógnita  y  de la primera ecuación lineal.

                     y = 3x - 1

Sustituimos en la segunda ecuación y simplificamos:

                     2x + 3(3x - 1) = 8   ⇒   2x + 9x - 3 = 8   ⇒   11x = 11   ⇒   x = 1

Calculado el valor de la  x  podemos hallar y:

                     y = 3x - 1 = 3 · 1 - 1   ⇒   y = 2

• Método de igualación

EJEMPLO 10:

Despejamos en ambas ecuaciones la misma incógnita, por ejemplo, despejaremos y:

                     3x - y = 1    ⇒    y = 3x - 1

                     2x + 3y = 8    ⇒    y = (8 - 2x)/3

Igualamos ambos resultados y simplificamos:

                     3x - 1 = (8 - 2x)/3  ⇒  9x - 3 = 8 - 2x     ⇒    11x = 11    ⇒    x = 1

Calculado el valor de la  x , hallamos el valor de   y  usando, por ejemplo, la primera de las ecuaciones:

                     y = 3x - 1 = 3 · 1 - 1    y = 2

• Método de reducción

Buscamos la eliminación de una de las incógnitas en alguna de las ecuaciones. Para ello, hacemos lo siguiente:

•   Multiplicamos una de las ecuaciones por un número, de manera que se igualen, en valor absoluto, los coeficientes de una de las incógnitas.

•   Sumamos ambas ecuaciones.

EJEMPLO 11:

En este caso, trataremos de igualar los coeficientes de la incógnita  y . Para ello, multiplicamos la primera ecuación por 3. Después sumamos ambas ecuaciones.

      

Despejando de la ecuación reducida tenemos que:   x = 1

Calculado el valor de  x  , podemos hallar el valor de  y  sustituyendo por x = 1 en la primera de las ecuaciones:

      3x - y = 1   ⇒   3·1 - y = 1   ⇒   y = 2

EJEMPLO 12:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss: